Matemática discreta Ejemplos

$a^{3} - 25 a < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$a^{3} - 25 a = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza $a$ de $a^{3} - 25 a$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $a$ de $a^{3}$ .

$a \cdot a^{2} - 25 a = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $a$ de $- 25 a$ .

$a \cdot a^{2} + a \cdot - 25 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $a$ de $a \cdot a^{2} + a \cdot - 25$ .

$a (a^{2} - 25) = 0$

Paso 2.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$a (a^{2} - 5^{2}) = 0$

Paso 2.3

Factoriza.

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Paso 2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 5$ .

$a ((a + 5) (a - 5)) = 0$

Paso 2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$a (a + 5) (a - 5) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$a = 0$

$a + 5 = 0$

$a - 5 = 0$

Paso 4

Establece $a$ igual a $0$ .

$a = 0$

Paso 5

Establece $a + 5$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 5.1

Establece $a + 5$ igual a $0$ .

$a + 5 = 0$

Paso 5.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$a = - 5$

Paso 6

Establece $a - 5$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 6.1

Establece $a - 5$ igual a $0$ .

$a - 5 = 0$

Paso 6.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$a = 5$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $a (a + 5) (a - 5) = 0$ verdadera.

$a = 0, - 5, 5$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$a < - 5$

$- 5 < a < 0$

$0 < a < 5$

$a > 5$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $a < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $a < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$a = - 8$

Paso 9.1.2

Reemplaza $a$ con $- 8$ en la desigualdad original.

${(- 8)}^{3} - 25 \cdot - 8 < 0$

Paso 9.1.3

$- 312$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < a < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < a < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$a = - 2$

Paso 9.2.2

Reemplaza $a$ con $- 2$ en la desigualdad original.

${(- 2)}^{3} - 25 \cdot - 2 < 0$

Paso 9.2.3

$42$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < a < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < a < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$a = 2$

Paso 9.3.2

Reemplaza $a$ con $2$ en la desigualdad original.

${(2)}^{3} - 25 \cdot 2 < 0$

Paso 9.3.3

$- 42$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.4

Prueba un valor en el intervalo $a > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.4.1

Elije un valor en el intervalo $a > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$a = 8$

Paso 9.4.2

Reemplaza $a$ con $8$ en la desigualdad original.

${(8)}^{3} - 25 \cdot 8 < 0$

Paso 9.4.3

$312$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$a < - 5$ Verdadero

$- 5 < a < 0$ Falso

$0 < a < 5$ Verdadero

$a > 5$ Falso

$a < - 5$ Verdadero

$- 5 < a < 0$ Falso

$0 < a < 5$ Verdadero

$a > 5$ Falso

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$a < - 5$ o $0 < a < 5$

Paso 11

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 5) \cup (0, 5)$

Paso 12